Проекции точки на три плоскости проекции. Параллельное проецирование
В некоторых случаях требуется проецирование на три плоскости проекций, если, например, геометрический объект имеет сложную конструкцию.
Введем в систему двух плоскостей проекций третью плоскость проекций– профильную плоскость W(рисунок1.4). Геометрический объект в системе трех плоскостей проекций проецируют на плоскости H, V и W и получают три проекции одной точки– горизонтальную, фронтальную и профильную.
Если все три плоскости проекций продолжить в геометрическом пространстве во все стороны, то оно разделится тремя плоскостями на восемь частей, называемых октантами(рисунок1.5). Октанты характеризуются различными знаками координат по осям0X, 0Y и0Z.
Рисунок1.3 – Проецирование точки на две плоскости
Знаки координат точки в различных октантах представлены в таблице.
Знаки координат в октантах
На рисунке1.6 представлена трансформация пространственной модели первого октанта вместе с проекциями точки в эпюр:
а) Убирают геометрический объект, но сохраняют его проекции вместе с линиями связи(см. рисунок1.6б);
б) Мысленно"разрезают" октант вдоль оси0Y и разворачивают плоскости H и W так, как показано на рисунке1.6в;
в) Получают плоскостную систему трех плоскостей проекций с осями, линиями связи и проекциями точки(см. рисунок1.6г);
г) Удаляют плоскости проекций и сохраняют лишь оси. В результате преобразований получают комплексный чертеж точки или эпюр Монжа на три плоскости проекций(рисунок1.6д). Следует заметить, что на эпюре образовалось две оси0Y: одна ось относится к плоскости H, другая, помеченная звездочкой*, относится к плоскости W.
Эпюр точки в трех проекциях положен в основу начертательной геометрии и технического черчения. Рассмотрим свойства эпюра Монжа, которые вытекают из пространственного чертежа ортогонального проецирования на три плоскости проекций и эпюра:
1) Горизонтальная проекция точки A определяется координатамиX и Y, причем для её построения координатаY откладывается вдоль вертикальной оси0Y;
2) Фронтальная проекция точки A определяется координатами X иZ;
3) Профильная проекция точки A определяется координатами Z иY,
причем координата Y откладывается вдоль горизонтальной оси0Y*;
4) Горизонтальная и фронтальная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси0X;
5) Фронтальная и профильная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси0Z;
6) Отрезки на линиях связи AхA/= AzA///равны как одна и та же координата Y. Такой же вывод следует из рассмотрения пространственного макета;
7) Из предыдущего свойства следует фундаментальное свойство эпюра Монжа– по двум проекциям точки можно построить третью.
Выше рассмотренное относилось к точке, расположенной в октанте в общем положении. Однако точка может принадлежать плоскостям проекций или осям. Такое положение точки называется частным положением.
Из рисунка1.7 видно, что если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, то две её проекции будут находиться на осях (рисунок1.7а,б). Если точка принадлежит какой-либо оси проекций, то две её проекции будут находиться на осях, а третья проекция– в точке0 (рисунок1.7в).
А 1 – горизонтальная проекция точки A : А 1 = АА 1 Ç П 1 . Горизонтально-проецирующая прямая АА 1 перпендикулярна П 1 . Отрезок AA 1 определяет координату z точки А , т.е. ее высоту.
А 2 – фронтальная проекция точки A : А 2 = АА 2 Ç П 2 . Фронтально-проецирующаяпрямая АА 2 перпендикулярна П 2 . Отрезок AA 2 определяет координату у точки А , т.е. ее глубину.
А 3 – профильная проекция точки A : А 3 = АА 3 Ç П 3 . Прямая АА 3 перпендикулярна П 3 , она называется профильно-проецирующей прямой . Отрезок AA 3 определяет координату х точки А , т.е. ее широту.
Для того, чтобы получить трехкартинный комплексный чертеж после проецирования точки одновременно осуществляют два вращения (Рис. 8 a ):
· плоскость П 1 вращается вокруг оси х 12 по часовой стрелке на 90° до совмещения ее с плоскостью П 2 , что полностью соответствует аналогичному вращению при получении двухкартинного комплексного чертежа;
· плоскость П 3 вращается вокруг оси z 23 против часовой стрелки на 90°, если смотреть с конца оси z 23 , до совмещения ее с плоскостью П 2 .
| а б |
| Рисунок 8 |
На рис. 8 бпоказан полученный таким образом трехкартинный комплексный чертеж точки А .
Очевидно, что разворот двух плоскостей П 1 и П 3 не возможен без дублирования оси y 13 . Одна из осей y 1 будет участвовать в повороте плоскости П 1 , а вторая y 3 – П 3 . Но эта условность должна обеспечивать одинаковую величину глубины точки, т.е. у 1 =у 3 . Одним из графических методов, обеспечивающих эту возможность, является способ, показанный на рис. 8 б .
Под углом 45° к оси у 3 проведем прямую к 13 , называемую постоянной прямой комплексного чертежа . Линию связи, соединяющую горизонтальную проекцию А 1 с профильной А 3 , будем преломлять под прямым углом на этой прямой. Горизонтальный участок А 1 y А ^ у 1 , а вертикальный А 3 y А ^ у 3 .
По аналогии с двухкартинным чертежом можно доказать, что линии связи проекций точек будут перпендикулярны соответствующим осям, т.е. A 1 A 2 ^ х 12 , A 2 A 3 ^ z 23 .
На рис. 8 б: А 1 А 2 ‑ вертикальная линия связи;
А 2 А 3 ‑ горизонтальная линия связи;
А 1 y A и y A А 3 ‑ ломаная линия связи;
Ox А = y А А 1 = z А А 2 = х ‑ широта точки А .
Oy А = x А А 1 = z А А 3 = y ‑ глубина точки А ;
Oz А = x А А 2 = y А А 3 = z ‑ высота точки А ;
Замечание : так как плоскости не имеют границ, в совмещенном положении (на эпюре) границы их не показывают. Оси проекций фиксируют положение плоскостей проекций. Часто практически гораздо важнее установить взаимное расположение элементов оригинала (т. е. изображаемого предмета) и их форму, чем расстояния до плоскостей проекций. Поэтому, при выполнении чертежей в этих случаях оси проекций могут не изображаться или изображаться частично, подразумевая, однако, что проецирование ведется ортогональное на две или три взаимно-перпендикулярные плоскости. Линии связи при этом изображаются обязательно. Если по какой-либо причине на чертеже требуется восстановить опущенные оси проекций, то их можно провести, ориентируясь на линии связи проекций точки так, что бы х 12 ^ A 1 A 2 , z 23 ^. A 2 A 3 , а начало координат располагалось на постоянной прямой к 13 .
Обратимость чертежа, т.е. определение точки в пространстве по ее проекциям, может быть определена проецированием на три плоскости проекций. (рисунок 2.1) Плоскость p 1 , называется горизонтальной, p 2 - фронтальной, p 3 – профильной. Линии пересечения плоскостей проекции образуют оси координат (х, у, z). Точка пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительным направлением осей координат считают для оси х - влево от начала координат, для оси у - в сторону наблюдателя от плоскости p 2 , ось z - вверх от плоскости p 1 .
Пусть дана точка А в пространстве (рисунок 2.1). Положение точки А определяется тремя координатами (х , у , z ), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.
Рисунок 2.1
Точки А ¢, А ¢¢, А ¢¢¢, в которых пересекаются перпендикулярные прямые, проведенные из этой точки, называются ортогональными проекциями точки А .
А ¢ – горизонтальная проекция точки А ;
А ¢¢ – фронтальная проекция точки А ;
А ¢¢¢ – профильная проекция точки А .
Прямые (АА ¢), (АА ¢¢), (АА ¢¢¢) называются проецирующими прямыми или проецирующими лучами. При этом прямую (АА ¢) называют горизонтально проецирующей прямой, (АА ¢¢) – фронтально проецирующей, (АА ¢¢¢) – профильно проецирующей прямой.
Две проецирующие прямые, проходящие через точку А , образуют плоскость, которую называют проецирующей.
Пользоваться пространственным макетом, показанным на рисунке 2.1, для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно в виду его громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях p 1 и p 3 происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому, вместо изображения на чертеже пространственного макета пользуются эпюром, т.е. чертежом, составленным из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.
Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей p 1 и p 3 с фронтальной плоскостью проекций p 2 . Для совмещения плоскости p 1 с p 2 ее поворачивают на 90° вокруг оси х по часовой стрелке, а для совмещения плоскости p 3 с p 2 ее поворачивают вокруг оси z против часовой стрелки (рисунок 2.1). После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке 2.2.
Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие наименование плоскостей проекций. Тогда, в окончательном виде эпюр, заменяющий чертеж пространственного макета (рисунок 2.1) примет вид, показанный на рисунке 2.3.
На эпюре прямые, перпендикулярные к осям проекций и соединяющие разноименные проекции точек, называют линиями проекционной связи. Отметим, что горизонтальная проекция точки А
определяется абсциссой х
и ординатой у
; ее фронтальная проекция – абсциссой х
и аппликатой z
, а профильная проекция – ординатой у
и аппликатой z
, т.е. А
¢ (х
, у
), А
¢¢
(х
, z
), A
¢¢¢
(y
, z
).
Рисунок 2.2 Рисунок 2.3
Существует множество деталей, информацию о форме которых невозможно передать двумя проекциями чертежа. Для того чтобы информация о сложной форме детали была представлена достаточно полно, используют проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции: фронтальную - V, горизонтальную - Н и профильную - W (читается «дубль вэ»).
Комплексным чертежом Чертеж представленный тремя видами или проекциями, в большинстве случаев дает полное представление о форме и конструкции детали (предмета и объекта) и также называется комплексным чертежом. осным чертежом. Если чертеж построен с осями координат, он называется осным чертежом. безосным Если чертеж построен без осей координат, он называется безосным профильной Если плоскость W перпендикулярна к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, то она называется профильной
В трехгранный угол помещают предмет так, чтобы его формообразующая грань и основание были бы параллельны соответственно фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. Затем через все точки предмета проводят проецирующие лучи, перпендикулярные всем трем плоскостям проекций, на которых получают фронтальную, горизонтальную и профильную проекции предмета. После проецирования предмет удаляют из трехгранного угла, а затем горизонтальную и профильную плоскости проекций поворачивают на 90° соответственно вокруг осей Ох иOz до совмещения с фронтальной плоскостью проекции и получают чертеж детали, содержащий три проекции.
Три проекции чертежа взаимосвязаны друг с другом. Фронтальная и горизонтальная проекции сохраняют проекционную связь изображений, т. е. устанавливаются проекционные связи и между фронтальной и горизонтальной, фронтальной и профильной, а также горизонтальной и профильной проекциями. Линии проекционной связи определяют местоположение каждой проекции на поле чертежа. Форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Следовательно, для чтения и выполнения чертежей нужно знать, как изображаются геометрические тела в системе трех проекций на производстве
1.Грани параллельные плоскости проекций проецируются на нее без искажения, в натуральную величину. 2.Грани перпендикулярные к плоскости проекций, проецируются в отрезке прямых линий. 3.Грани расположенные наклонно к плоскостям проекций, изображения на ней с искажением (уменьшенными)
& 3. стр вопросы письменно задание 4.1. стр стр, & 5, стр.37-45, вопросы письменно задание
Цели и задачи урока:
обучающая: показать учащимся использование метода прямоугольного проецирования при выполнении чертежа;
Необходимость применения трёх плоскостей проекций;
Создать условия для формирования умений проецировать предмет на три плоскости проекций;
развивающая: развивать пространственные представления, пространственное мышление, познавательный интерес и творческие способности учащихся;
воспитывающая: ответственное отношение к черчению, воспитывать культуру графического труда.
Методы, приёмы обучения: объяснение, беседа, проблемные ситуации, исследование, упражнения, фронтальная работа с классом, творческая работа.
Материальное обеспечение: компьютеры, презентация “Прямоугольное проецирование”, задачи, упражнения, карточки с упражнением, презентация для самопроверки.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Словарная работа: горизонтальная плоскость, проекция, проецирование, профильная, исследовательский, проект.
Ход урока
I. Организационная часть.
Сообщение темы и цели урока.
Проведем урок-состязание , за каждое задание вы будете получать определенное количество баллов. В зависимости от набранных баллов будет выставлена оценка за урок.
II. Повторение о проецировании и его видах.
Проецирование – это мыслительный процесс построения изображений предметов на плоскости.
Повторение осуществляется с использованием презентации.
1. Перед учащимися ставится проблемная ситуация . (Презентация 1)
Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений.
Из создавшейся ситуации делается вывод, что все 6 деталей имеют одинаковую фронтальную проекцию. Значит, одна проекция не всегда дает полное представление о форме и конструкции детали.
Какой выход из этой ситуации? (Посмотреть на деталь с другой стороны).
2. Появилась потребность применения ещё одной плоскости проекций. (Горизонтальная проекция).
3. Необходимость в третьей проекции возникает тогда, когда и двух проекций бывает недостаточно для определения формы предмета.
Постановка размеров:
- на фронтальной проекции – длина и высота;
- на горизонтальной проекции – длина и ширина;
- на профильной проекции – ширина и высота.
Вывод: значит, чтобы научиться выполнять чертежи, нужно уметь проецировать предметы на плоскость.
Задание 1
Вставьте пропущенные слова в текст определений.
1. Существует _______________ и ______________ проецирование.
2. Если ______________ лучи выходят из одной точки, проецирование называется ______________.
3. Если ______________ лучи направлены параллельно, проецирование называется _____________.
4. Если ______________ лучи направлены параллельно
друг другу и под углом 90 ° к плоскости проекций,
то проецирование называется ______________.
5. Натуральное изображение предмета на плоскости
проекций получается только при ______________
проецировании.
6. Проекции располагаются относительно друг друга______________________________.
7.Основоположником метода прямоугольного проецирования является _______________
Задание 2. Исследовательский проект
Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.
Рис.4
Задание 3
Упражнение на повторение знаний геометрических тел.
По словесному описанию найти наглядное изображение детали.
Текст описания.
Основание детали имеет форму прямоугольного параллелепипеда, в меньших гранях которого выполнены пазы, имеющие форму правильной четырехугольной призмы. В центре верхней грани параллелепипеда расположен усеченный конус, вдоль оси которого проходит сквозное цилиндрическое отверстие.
Рис. 5
Ответ: деталь № 3 (1 балл)
Задание 4
Найдите соответствие технических рисунков деталей и их фронтальных проекций (направление проецирования отмечено стрелкой). По разрозненным изображениям чертежа составьте чертеж каждой детали, состоящий из трех изображений. Ответ запишите в таблицу (рис. 129).
Рис. 6
| Технические рисунки | Фронтальная проекция | Горизонтальная проекция | Профильная проекция |
| А | 4 | 13 | 10 |
| Б | 12 | 9 | 2 |
| В | 14 | 5 | 1 |
| Г | 6 | 15 | 8 |
| Д | 11 | 3 | 7 |
III. Практическая работа.
Задание №1. Исследовательский проект
Найдите фронтальную и горизонтальную проекции к данному наглядному изображению. Записать ответ в тетрадь.
Оценивание работы на уроке. Самопроверка. (Презентация 2)
На доске записаны баллы для оценивания первой части работы:
23-26 баллов “5”
19-22 баллов “4”
15 -18 баллов “3”
Задание №2. Творческая работа и
проверка его выполнения
(творческий проект)
Перечертить фронтальную проекцию в рабочую
тетрадь.
Дочертить горизонтальную проекцию, изменив
форму детали с целью уменьшения её массы.
При необходимости внести изменения на
фронтальной проекции.
Для проверки выполнения задания вызвать
одного-двух учеников к доске с целью объяснения
своего варианта решения задачи.
(10 баллов)
IV. Подведение итога урока.
1. Оценивание работы на уроке. (Проверка практической части работы)
V. Задание на дом.
1. Исследовательский проект.
Работа по таблице: определить к какому чертежу, обозначенному цифрой, соответствует рисунок, обозначенный буквой.
